[ Pobierz całość w formacie PDF ]
na mocy twierdzenia Baire a 11.3, ich suma Q jest brzegowa w Q, co
jest niemożliwe.
Twierdzenia Baire a w wersji 11.3 lub 11.4 używa sie czesto w do-
wodach egzystencjalnych, tzn. w niekonstruktywnych dowodach ist-
nienia pewnych obiektów matematycznych. Jeśli mianowicie uda sie
potraktować zbiór takich obiektów jako podzbiór pewnej przestrzeni
zupelnej, bedacy przekrojem przeliczalnej ilości jej podzbiorów otwar-
tych i gestych, to, jako podzbiór gesty, jest on w szczególności niepusty
(czyli takie obiekty istnieja i jest ich wiekszość ).
W taki sposób, opierajac sie na zupelności przestrzeni funkcyjnych
B(X, Y ) lub C(X, Y )) (zob. przyklady 11.2 i 11.3), można stwierdzić
np. istnienie funkcji nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie prostej; co
wiecej wiekszość funkcji ciaglych rzeczywistych jest tego typu.
Podobnie w przestrzeni wszystkich podzbiorów spójnych i zwar-
tych plaszczyzny euklidesowej, zupelnej w pewnej naturalnej metryce,
zbiory bez luków stanowia gesta wiekszość .
82 11. PRZESTRZENIE ZUPELNE
Zazwyczaj w naturze wiekszość stanowia obiekty o skomplikowa-
nej strukturze, które trudno jest skonstruować. Twierdzenie Baire a
potrafi je ujawnić.
Przyklad 11.5 może też ilustrować metode (raczej sztuczna) dowodu
liczb
istnienia liczb niewymiernych, albo nieprzeliczalności zbioru rze-
czywistych, jeśli przyjmiemy za znany skadinad fakt zupelności prostej
euklidesowej.
Twierdzenie Baire a nie daje odpowiedzi na pytanie o zupelna me-
tryzowalność zbioru liczb niewymiernych. Rozstrzyga to nastepne twier-
dzenie.
Twierdzenie 11.5. Podprzestrzeń przestrzeni zupelnej X, bedaca
zbiorem typu G w X, jest metryzowalna w sposób zupelny.
Dowód. Niech Y = )" " Gn, gdzie Gn jest otwartym podzbiorem
n=1
w X dla każdego n " N. Udowodnimy, że podprzestrzeń Y jest homeo-
morficzna z przestrzenia zupelna (zob. stwierdzenie 11.6).
Dla dowolnego punktu y " Y rozważmy jego odleglości dF (y) od
n
zbiorów domknietych Fn = X \ Gn, n " N. Ponieważ przeksztalcenia
sa
dF : Y ! R ciagle (zob. przyklad 4.1), wiec ciagle sa prze-
n
ksztalcenia
1
fn : Y ! R fn(y) =
dF (y)
n
(zauważmy, że fn jest dobrze określone, bo dF (y) = 0) oraz prze-
n
ksztalcenie
f : Y ! R R . . . f(y) = (f1(y), f2(y), . . . )
(zob. wniosek 6.1).
Okazuje sie, że wykres
W = {(y, f(y)) " Y R R : y " Y }
przeksztalcenia f, jest podzbiorem domknietym iloczynu kartezjańskie-
go Z = X R R . . . . Rzeczywiście, zalóżmy, że ciag punktów
(yk, f(yk)) " W jest zbieżny do punktu (y, x1, x2, . . . ) " Z , o którym
trzeba udowodnić, że należy również do W . Z twierdzenia 6.1 o zbież-
ności po wspólrzednych mamy
1
limk! " yk = y, limk! " = xn
dF (yk)
n
1
dla każdego n " N. Z ciaglości dF i zbieżności ulamków do
n
dFn (yk)
(skończonej) liczby xn, gdy k ! ", wynika, że
limk! " dF (yk) = dF (y) = 0.
n n
11. PRZESTRZENIE ZUPELNE 83
Korzystajac z równoważności (4.1) z przykladu 4.1 i domknietości zbio-
rów Fn, stwierdzamy, że y " Fn, czyli y " Gn dla każdego n, co oznacza,
/
że y " Y . Ponadto
1 1
limk! " = = xn.
dF (yk) dF (y)
n n
Wynika stad, że
1 1
(y, x1, x2, . . . ) = (y, , , . . . ) = (y, f(y)) " W.
dF (y) dF (y)
1 2
Przestrzeń Z jest zupelna, jako iloczyn kartezjanski przestrzeni
zupelnych (stwierdzenie 11.4), a jej podzbiór domkniety W jest podprze-
strzenia zupelna (stwierdzenie 11.5), która jako wykres przeksztalcenia
ciaglego f jest homeomorficzna z dziedzina Y (stwierdzenie 6.1).
Ponieważ zbiór liczb wymiernych Q jest F (suma przeliczalnej
ilości zbiorów jednopunktowych), to zbiór liczb niewymiernych, jako
dopelnienie Q, jest G na prostej euklidesowej. Stad otrzymujemy nie-
banalny
Wniosek 11.2. Zbiór liczb niewymiernych z metryka euklidesowa
jest przestrzenia metryzowalna w sposób zupelny.
Uwaga 11.2. Zachodzi interesujace twierdzenie odwrotne do twier-
dzenia 11.5:
Jeśli przestrzeń metryzowalna w sposób zupelny Y jest
podprzestrzenia przestrzeni metrycznej X, to Y jest typu
G w X (zob. np. [O])
Dlatego mówi sie o przestrzeniach zupelnych, że sa absolutnymi
zbiorami G.
Przypomnijmy (zob. ćwiczenia 8 i 9 z rozdzialu 8) że punkt x prze-
strzeni topologicznej X nazywa sie punktem stalym, przeksztalcenia
f : X ! X, gdy f(x) = x. Twierdzenia o istnieniu i polożeniu
punktów stalych odgrywaja znaczna role w calej matematyce. Jed-
nym z nich, o prostym dowodzie i licznych zastosowaniach (np. przy
dowodzeniu istnienia rozwiazań pewnych równań różniczkowych) jest
nastepujace twierdzenie Banacha o punkcie stalym dla przeksztalceń
ściśle zwe żajacych.
Twierdzenie 11.6. (Banacha) Jeśli (X, ) jest przestrzenia zu-
pelna, a przeksztalcenie f : X ! X jest ściśle zweżajace, to f ma
dokladnie jeden punkt staly.
84 11. PRZESTRZENIE ZUPELNE
Dowód pokaże zadziwiajace zjawisko: startujac od dowolnego pun-
ktu x0 " X i rozpatrujac jego kolejne obrazy przez f (czyli orbite
punktu x0 tworzona przez f) dażymy w granicy do tego jedynego pun-
ktu stalego. Mówimy, że jest on punktem przyciagajacym przy prze-
ksztalceniu f.
Dowód. Ponieważ f jest ściśle zweżajace, wiec istnieje liczba do-
datnia c
(f(x), f(y)) d" c(x, y).
Pokażemy najpierw, że f ma punkt staly. Niech
x0 " X i xn = f(xn-1)
dla n " N.
Jeśli x0 = x1, to x0 jest punktem stalym przeksztalcenia f, wiec
zalóżmy, że x0 = x1. Sprawdzimy, że ciag (xn)n"N jest Cauchy ego.
Niech > 0 i m > n. Szacujemy odleglość
(xm, xn) = (f(xm-1, f(xn-1)) d" c(xm-1, xn-1) d" . . .
cn(xm-n, x0) d" cn ((x0, x1) + (x1, x2) + + (xm-n-1, xm-n)) d"
cn (x0, x1) + c(x0, x1) + + cm-n-1(x0, x1) =
cn
cn(x0, x1) 1 + c + + cm-n-1 d" (x0, x1)
1 - c
(1-c)
gdy tylko n jest tak duże, by liczba cn byla mniejsza od liczby ,
(x0,x1
zależnej wylacznie od x0 i f. Taki wybór n jest oczywiście możliwy, bo
ciag cn daży do 0, gdy n ! ".
Ciag (xn)n"N jest wiec zbieżny w przestrzeni zupelnej X. Oznaczmy
jego granice przez p. Punkt p jest wlaśnie szukanym punktem stalym
przeksztalcenia f, bo
f(p) = f(limn! " xn) = limn! " f(xn) = limn! " xn+1 = p.
Pozostaje uzasadnić jedyność punktu stalego. Zalóżmy wiec, że
oprócz p istnieje jeszcze inny punkt staly p przeksztalcenia f. Wtedy
otrzymujemy nastepujaca sprzeczność:
(p, p ) = (f(p), f(p )) d" c(p, p )
WICZENIA 85
wiczenia
(1) Sprawdzić prawdziwość stwierdzeń 11.1 i 11.2.
(2) Udowodnić stwierdzenie 11.5.
(3) Udowodnić uwage 11.1.
(4) Udowodnić stwierdzenie 11.6.
(5) Sprawdzić równość
sup(fx, fy) = (x, y)
dla dowolnych x, y " X z dowodu twierdzenia 11.1.
(6) Uzasadnić dualne sformulowanie twierdzenia Baire a 11.4.
(7) Zbadać zupelność plaszczyzny z metrykami m, s, rzeka i cen-
trum .
(8) Kiedy przestrzeń dyskretna jest zupelna?
(9) Sprawdzić, że jeśli f : X ! Y jest przeksztalceniem Lipschitza i
ciag (xn) " X jest Cauchy ego, to (f(xn)) jest ciagiem Cauchy ego
w Y .
1
(10) Niech X = : n = 1, 2, . . . z metryka euklidesowa, a f : X ! N
n
1
b określone wzorem f(n) = n. Sprawdzić, czy f jest homeo-
edzie
morfizmem i czy f przeprowadza ciagi Cauchy ego w X na ciagi
Cauchy ego w (N, e). Czy przestrzenie X i N sa zupelne?
(11) Wywnioskować bezpośrednio z twierdzenia Baire a, że zbiór liczb
niewymiernych nie jest zbiorem typu F , a zbiór liczb wymiernych
nie jest typu G na prostej euklidesowej.
(12) Podać przyklad na istotność zalożenia, że średnice zbiorów dom-
knietych daża do 0 w twierdzeniu Cantora 11.2. Udowodnić twier-
[ Pobierz całość w formacie PDF ]